https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/tags/%E4%B8%80%E7%BB%B4dp/Recent content in 一维DP on Jeanphilo BlogHugo -- 0.161.1zh-cnSun, 03 May 2026 14:33:39 +0800https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/hot100/198-house-robber/Sun, 03 May 2026 14:33:39 +0800https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/hot100/198-house-robber/<h2 id="题目要求">题目要求</h2> <h3 id="输入输出">输入输出</h3> <ul> <li>输入：整数数组 <code>nums</code></li> <li><code>nums[i]</code> 表示第 <code>i</code> 间房子的金额</li> <li>不能偷相邻房子</li> <li>输出：返回最多能偷到的金额</li> <li>约束：<code>1 &lt;= nums.length &lt;= 100</code>，<code>0 &lt;= nums[i] &lt;= 400</code></li> </ul> <h3 id="示例">示例</h3> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：nums = [1,2,3,1] </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：4 </span></span><span style="display:flex;"><span>解释：偷下标 0 和下标 2，金额 1 + 3 = 4 </span></span></code></pre></div><div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：nums = [2,7,9,3,1] </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：12 </span></span><span style="display:flex;"><span>解释：偷下标 0、2、4，金额 2 + 9 + 1 = 12 </span></span></code></pre></div><p>这篇只用 Python，从这个二选一冲突推出一维 DP。</p> <h2 id="从-1231-的相邻冲突开始">从 <code>[1,2,3,1]</code> 的相邻冲突开始</h2> <p>看例子：</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>nums = [1,2,3,1] </span></span></code></pre></div><p>如果偷下标 <code>2</code> 的房子，金额是 <code>3</code>，那么下标 <code>1</code> 和下标 <code>3</code> 都不能偷。 如果不偷下标 <code>2</code>，答案可能来自前面下标 <code>0..1</code> 的最优结果。</p> <p>所以走到某一间房时，核心选择只有两个：</p>https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/70-climbing-stairs/Sun, 03 May 2026 14:33:39 +0800https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/70-climbing-stairs/<h2 id="题目要求">题目要求</h2> <h3 id="输入输出">输入输出</h3> <ul> <li>输入：整数 <code>n</code></li> <li>含义：爬到第 <code>n</code> 阶楼顶</li> <li>每次可以爬 <code>1</code> 或 <code>2</code> 阶</li> <li>输出：返回到达楼顶的不同走法数量</li> <li>约束：<code>1 &lt;= n &lt;= 45</code></li> </ul> <h3 id="示例">示例</h3> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：n = 2 </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：2 </span></span><span style="display:flex;"><span>解释：1+1，2 </span></span></code></pre></div><div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：n = 3 </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：3 </span></span><span style="display:flex;"><span>解释：1+1+1，1+2，2+1 </span></span></code></pre></div><p>这篇只用 Python，从 <code>dp[i]</code> 的含义一步一步推出最终代码。</p> <h2 id="从-n--3-的最后一步开始">从 <code>n = 3</code> 的最后一步开始</h2> <p>先看最小能暴露转移的例子：</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>n = 3 </span></span></code></pre></div><p>到第 3 阶的最后一步只可能来自：</p> <ul> <li>第 2 阶，再走 1 阶</li> <li>第 1 阶，再走 2 阶</li> </ul> <p>所以“到第 3 阶的方法数”不是凭空算出来的，而是来自两个更小的位置。</p> <h2 id="step-1先定义更小的问题">Step 1：先定义更小的问题</h2> <p>直接问“到第 <code>n</code> 阶有几种走法”太大。先定义：</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>dp[i] = 到达第 i 阶的方法数 </span></span></code></pre></div><p>注意这里的 <code>i</code> 是楼梯位置，不是数组下标含义上的第几个元素。</p>https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/746-min-cost-climbing-stairs/Sun, 03 May 2026 14:33:39 +0800https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/746-min-cost-climbing-stairs/<h2 id="题目要求">题目要求</h2> <h3 id="输入输出">输入输出</h3> <ul> <li>输入：整数数组 <code>cost</code></li> <li><code>cost[i]</code> 表示踩到第 <code>i</code> 阶的代价</li> <li>每次可以爬 <code>1</code> 或 <code>2</code> 阶</li> <li>可以从下标 <code>0</code> 或下标 <code>1</code> 开始</li> <li>输出：返回到达楼顶的最小花费</li> <li>约束：<code>2 &lt;= cost.length &lt;= 1000</code>，<code>0 &lt;= cost[i] &lt;= 999</code></li> </ul> <h3 id="示例">示例</h3> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：cost = [10,15,20] </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：15 </span></span><span style="display:flex;"><span>解释：从下标 1 开始，付 15 后直接到达 top </span></span></code></pre></div><div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1] </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：6 </span></span></code></pre></div><h2 id="从-101520-的-top-位置开始">从 <code>[10,15,20]</code> 的 top 位置开始</h2> <p>先看最小例子：</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>cost = [10,15,20] </span></span></code></pre></div><p>楼顶不是下标 <code>2</code>，而是在最后一阶之后的位置，可以记为位置 <code>3</code>。</p> <p>到达 top 位置 <code>3</code> 的最后一步只可能来自：</p> <ul> <li>位置 <code>2</code>，付 <code>cost[2]</code></li> <li>位置 <code>1</code>，付 <code>cost[1]</code></li> </ul> <p>这题最容易错的地方就在这里：我们要求的是“到达 top 的花费”，不是“到达最后一个下标的花费”。</p>https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/hot100/53-maximum-subarray/Sun, 03 May 2026 14:25:07 +0800https://shio-chan-dev.github.io/jeanblog/zh/alg/leetcode/hot100/53-maximum-subarray/<h2 id="题目要求">题目要求</h2> <h3 id="输入输出">输入输出</h3> <ul> <li>输入：整数数组 <code>nums</code></li> <li>输出：返回连续非空子数组的最大和</li> <li>子数组必须连续</li> <li>至少选一个元素</li> <li>约束：<code>1 &lt;= nums.length &lt;= 10^5</code>，<code>-10^4 &lt;= nums[i] &lt;= 10^4</code></li> </ul> <h3 id="示例">示例</h3> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：6 </span></span><span style="display:flex;"><span>解释：[4,-1,2,1] 的和最大，为 6 </span></span></code></pre></div><div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>输入：nums = [1] </span></span><span style="display:flex;"><span>输出：1 </span></span></code></pre></div><p>这篇只用 Python，从 <code>dp[i]</code> 的含义一步一步推出 Kadane 算法。</p> <h2 id="从--21-34-的断点开始">从 <code>[-2,1,-3,4]</code> 的断点开始</h2> <p>看一个前缀例子：</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" style="color:#f8f8f2;background-color:#272822;-moz-tab-size:4;-o-tab-size:4;tab-size:4;-webkit-text-size-adjust:none;"><code class="language-text" data-lang="text"><span style="display:flex;"><span>nums = [-2, 1, -3, 4] </span></span></code></pre></div><p>如果走到 <code>4</code>，有两种选择：</p> <ul> <li>把前面的某个连续子数组接到 <code>4</code> 前面</li> <li>从 <code>4</code> 自己重新开始</li> </ul> <p>这里的关键不是“所有子数组怎么枚举”，而是：</p> <blockquote> <p>当我们决定一个最优子数组必须以当前位置结尾时，它的来源只有两种：接上前一个位置的最优结尾，或者从当前位置重新开始。</p> </blockquote> <p>这就是一维 DP 的入口。</p> <h2 id="step-1先定义一个更小的问题">Step 1：先定义一个更小的问题</h2> <p>直接问“整个数组的最大子数组和是多少”太大。我们先强加一个限制：</p> <blockquote> <p>如果子数组必须以第 <code>i</code> 个元素结尾，它的最大和是多少？</p> </blockquote> <p>这个值记为 <code>dp[i]</code>。</p> <p>这里的 <code>dp[i]</code> 不是“前 <code>i</code> 个元素里的最大子数组和”。它更窄：</p>